Question

 四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点.

（Ⅰ）证明//平面；            

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）；（3）棱上存在点，，使得⊥平面。

【解析】解：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），

B（2，2，0）.

设 是平面BDE的一个法向量，

则由   

 

（II）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，

又是平面的一个法向量.

设二面角--的平面角为，由图可知 

∴ 

故二面角--的余弦值为 

（Ⅲ）∵ ∴ 

假设棱上存在点，使⊥平面，设，

则，

由

∴

即在棱上存在点，，使得⊥平面 。