Question

如图△为直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连交圆于点．

（Ⅰ）求证：、、、四点共圆；
（Ⅱ）设，，求的长．

Answer 1

（1）（1）做出辅助线，首先证明两个三角形全等，根据三角形三边对应相等，得到两个三角形全等，得到对应角相等，从而得到四边形一对对角互补，即四点共圆．
（2）5

试题分析：（1）证明：连结OE，BE
∵AB为圆O直径    ∴BE⊥AE
OB=OE      ∴∠BEO=∠OBE
Rt△BEC中    D为BC中点      ∴BD=DE   ∠BED=∠DBE
∠OED=∠BEO+∠BED=∠OBE+∠DBE=∠OBD=∠ABD=90°
∠OED+∠OBD=180°
∴O、B、D、E四点共圆               5分
（II）解：延长DO交圆于H， O、D分别为AB、AC中点
OD=AC=3      MH=AB=4    DM=1
由（I）OE⊥DE    E为圆上    ∴DE为圆O切线
DE²=DM·DH=1·（4+1）=5                 10分
点评：本题考查三角形全等，考查四点共圆，考查圆的切割线定理，是一个平面几何的综合题目，解题时注意分析要证明的结论与条件之间的关系