题目内容

设直线l（斜率存在）交抛物线y²=2px（p＞0，且p是常数）于两个不同点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，且满足 $数学公式$ =x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直线l的斜率与p之间的关系；
（2）求证：直线l过定点；
（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足 $数学公式$ ，求点M的轨迹方程．

解：（1）设直线l的方程为y=kx+b，由 $\text{[math]}$ ，得ky²-2py+2pb=0，
由题知k≠0，△=4p²-8kpb＞0，且 $\text{[math]}$ ．
又y₁+y₂=-1，∴k=-2p．
∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-p．

（2）由（1），有 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ +2（y₁+y₂），
∴y₁y₂=2（y₁+y₂）．则 $\text{[math]}$ ，得b=2．
∴直线l的方程为y=kx+2．
∴直线l过定点（0，2）．
（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A′，M′，B′，
设M（x，y），由 $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∵△=4p²-16kp＞0，∴1＜y＜3，y≠2．
∵y=kx+2，∴ $\text{[math]}$ ．
∴点M的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设直线l的方程为y=kx+b，由 $\text{[math]}$ ，得ky²-2py+2pb=0，再由根的判别式和根与系数的关系，可知直线l的斜率与p之间的关系．
（2）由题设知，y₁y₂=2（y₁+y₂）．则 $\text{[math]}$ ，得b=2．所以直线l的方程为y=kx+2．由此知直线l过定点（0，2）．
（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A^‘，M’，B^‘，设M（x，y），由 $\text{[math]}$ ，可得
$\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．由此入手可求出点M的轨迹方程．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．