Question

设直线l（斜率存在）交抛物线y²=2px（p＞0，且p是常数）于两个不同点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，且满足

OA

•

OB

=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直线l的斜率与p之间的关系；
（2）求证：直线l过定点；
（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足

1

| PM |

=

1

| PA |

+

1

| PB |

，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=kx+b，由

y=kx+b y2=2px

，得ky²-2py+2pb=0，再由根的判别式和根与系数的关系，可知直线l的斜率与p之间的关系．
（2）由题设知，y₁y₂=2（y₁+y₂）．则

2pb

k

=2×

2p

k

，得b=2．所以直线l的方程为y=kx+2．由此知直线l过定点（0，2）．
（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A^‘，M’，B^‘，设M（x，y），由

1

| PM |

= 

1

| PA |

+

1

| PB |

，可得

1

| PM2 |

=

1

| PA‘ |

+

1

| PB   |

．所以

1

|2-y|

=

1

|2-y1|

+

1

|2-y2|

．由此入手可求出点M的轨迹方程．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=kx+b，由

y=kx+b y2=2px

，得ky²-2py+2pb=0，
由题知k≠0，△=4p²-8kpb＞0，且y1+y2=

2p

k

．
又y₁+y₂=-1，∴k=-2p．
∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-p．

（2）由（1），有

y1+y2= 2p k y1•y2= 2pb k

，
又

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+2（y₁+y₂），
∴y₁y₂=2（y₁+y₂）．则

2pb

k

=2×

2p

k

，得b=2．
∴直线l的方程为y=kx+2．
∴直线l过定点（0，2）．
（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A′，M′，B′，
设M（x，y），由

1

| PM |

=

1

| PA |

+

1

| PB |

，
可得

1

| PM2 |

=

1

| PA‘ |

+

1

| PB  |

．
∴

1

|2-y|

=

1

|2-y1|

+

1

|2-y2|

，∴

1

2-y

=

1

2-y1

+

1

2-y2

．
∴

1

2-y

=

4-(y1+y2)

4-2(y1+y2)+y1y2

=

4-(y1+y2)

4-2(y1+y2)+2(y1+y2)

=1-

y1+y2

4

，
∴

1

2-y

=1-

1

4

×

2p

k

=1-

p

2k

，∴2k=

2-y

1-y

×p，
∵△=4p²-16kp＞0，∴1＜y＜3，y≠2．
∵y=kx+2，∴y=

p

2

x+1(1＜y＜3，y≠2)．
∴点M的轨迹方程为y=

p

2

x+1(1＜y＜3，y≠2)．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．