Question

14．用分析法、综合法证明：若a＞0，b＞0，a≠b，则$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 利用分析法的证明方法，逐步找出是不等式成立的充分条件即可．利用综合法通过配方法直接推出结果即可．

解答 解：（1）分析法
为了证明$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$成立，需证明a+b＞2$\sqrt{ab}$ 成立：由于a＞0，b＞0，即要证（a+b）²＞4ab成立．展开这个不等式左边，即得a²+2ab+b²＞4ab
即证a²-2ab+b²＞0成立．即证（a-b）²＞0成立，以上证明过程步步可逆，
∵a≠b，∴（a-b）²＞0成立．故$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$成立．                （5分）
（2）综合法
$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{2}{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2$＞0．（10分）

点评 本题考查分析法与综合法证明不等式的方法，考查逻辑推理能力以及计算能力．