Question

4．已知等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃+a₇=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=2^n-1a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）c_n=（2n-1）×2^n-1，再利用“错位相减法”与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}是等差数列，设其公差为d，
∵a₁=1，a₃+a₇=18．
∴2+8d=18，
解得d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
即数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（2）∵c_n=（2n-1）×2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，②
①-②得-T_n=1+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ，
整理得-T_n=1+2×$\frac{2-2n}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ=-（2n-3）×2ⁿ-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．