Question

（2013•资阳一模）函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，将点的坐标代入即可；（2）先求出g（x）的表达式，观察到函数是复合函数，故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）由

f(8)=2 f(1)=-1

得

m+loga8=2 m+loga1=-1

，
解得m=-1，a=2，故函数解析式为f（x）=-1+log₂x，
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x-1

-1，其中x＞1，
因为

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 (x-1)

+2=4
当且仅当x-1=

1

x-1

即x=2时，“=”成立，
而函数y=log₂x在（0，+∞）上单调递增，则log2

x2

x-1

-1≥log24-1=1，
故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．

点评：该题目第一问是送分的，第二问比较有难度，解题时应该注意复合函数的最值拆分开来求：本题先分离常数利用基本不等式求真数的范围，利用对数函数的单调性求出最值．