Question

已知cos（

π

4

+α）=

5

13

，0＜α＜

π

4

，则

cos2α

cos( π 4 +α)

的值为

 

．

Answer 1

分析：先利用cos（

π

4

+α）的值，求得sin（

π

4

-α）的值，利用同角三角函数基本关系求得cos（

π

4

-α）和sin（

π

4

+α）的值，进而利用二倍角公式和两角和公式对原式化简整理把cos（

π

4

-α）和sin（

π

4

+α）的值及cos（

π

4

+α）和sin（

π

4

-α）的值，答案可得．

解答：解：cos（

π

4

+α）=cos[

π

2

-（

π

4

-α）]=sin（

π

4

-α）=

5

13

，
又由于0＜α＜

π

4

，则0＜

π

4

-α＜

π

4

，

π

4

＜

π

4

+α＜

π

2

．
所以cos（

π

4

-α）=

1-sin2( π 4 -α)

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，
sin(

π

4

+α)=

1-cos2( π 4 +α)

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

．
因此

cos2α

cos( π 4 +α)

=

cos[( π 4 +a)-( π 4 -α)]

cos( π 4 +α)

=

cos( π 4 +α)cos( π 4 -α)+sin( π 4 +α)sin( π 4 -α)

cos( π 4 +α)

=

5 13 • 12 13 + 12 13 • 5 13

5 13

=

24

13

．

点评：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧．解题过程中，需要注意到（

π

4

+α）+（

π

4

-α）=

π

2

，并且（

π

4

+α）-（

π

4

-α）=2α．