Question

已知f（x）=log

1

3

x2+px+q

x2+mx+1

．是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：
①定义域为R的奇函数；
②在[1，+∞）上是减函数；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由．

Answer 1

∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0 即log

1

3

q=0，得q=1
又f（-x）=-f（x）
∴log

1

3

x2-px+1

x2-mx+1

=-log

1

3

x2+px+1

x2+mx+1

，
∴

x2+1-px

x2+1-mx

=

x2+1+mx

x2+1+px

，
即（x²+1）²-p²x²=（x²+1）²-m²x²
∴p²=m²
若p=m，则f（x）=0，不合题意．故p=-m≠0
∴f（x）=log

1

3

x2-mx+1

x2+mx+1

由f（x）在[1，+∞）上是减函数，
x≠0时，令g（x）=

x2-mx+1

x2+mx+1

=1-

2mx

x2+mx+1

=1-

2m

x+ 1 x +m

∵x+

1

x

在[1，+∞）上递增，在（-∞，-1）也递增，只有m＞0时，在[1，+∞）上g（x）递增，从而f（x）递减．
即m＞0时函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）上为增函数，在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数
∴x=-1时，x+

1

x

在（-∞，-1]上取得最大值-2，此时由f（x）的最小值为-1得g（x）的最大值为3．
∴1-

2m

m-2

=3    得m=1，从而p=-1
综上可知，存在p=-1，q=1，m=1．