Question

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

2

3

或

3

4

，假设两人投球是否命中，相互之间没有影响；每次投球是否命中，相互之间也没有影响．
①甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有命中的概率；
②甲、乙两人在罚球线各投球两次，求甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的概率．

Answer 1

分析：①甲、乙两人在罚球线各投球一次，“两人都没有命中”分解为“甲没命中”且“乙没有命中”，可分别计算这两个事件的概率，再用概率的乘法公式即可得事件“两人都没有命中”的概率；
②事件：“甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多”=“甲命中1次，乙命中0次”+“甲命中2次，乙命中0次”+“甲命中2次，乙命中1次”，分别计算这三个事件概率，最后用概率的加法公式，可得事件“甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多”的概率．

解答：解：①依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则P(A)=

2

3

，P(B)=

3

4

，P(

.

A

)=

1

3

，P(

.

B

)=

1

4

．（3分）
∵“甲、乙两人各投球一次，都没有命中”的事件为

.

A

•

.

B

∴P(

.

A

•

.

B

)=P(

.

A

)•P(

.

B

)=

1

3

×

1

4

=

1

12

．（5分）
②∵甲、乙两人在罚球线各投球二次时，
甲命中1次，乙命中0次的概率为P1=

C

1 2

2

3

×

1

3

×(

1

4

)2=

1

36

（7分）
甲命中2次，乙命中0次的概率为P2=(

2

3

)2×(

1

4

)2=

1

36

（9分）
甲命中2次，乙命中1次”的概率为P3=(

2

3

)2×

C

1 2

×

3

4

×

1

4

=

1

6

（11分）
故甲、乙两人在罚球线各投球两次，甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的
概率为P=P1+P2+P3=

2

9

（12分）
答：①甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有命中的概率为

1

12

；②②甲、乙两人在罚球线各投球两次，求甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的概率为

2

9

．

点评：本题考查了相互独立事件的概率的求法，属于基础题．将一个复杂事件合理的分解为几个简单基本事件的和，再用概率的加法公式来计算，是基本思路．在计算时要注意一个是分解要不漏不重复，二要注意各部分概率用乘法公式要准确无误．