Question

（2013•韶关二模）甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为

2

3

与

3

4

，投中得1分，投不中得0分．
（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率．

Answer 1

分析：（1）记“甲、乙投一次命中”分别为事件A、B，且A与B相互独立，ξ的可能取值为0、1、2，分别可求其概率，可得分布列，代入可得期望值；
（2）设甲恰好比乙多得分为事件C，甲得分且乙得0分为事件C₁，甲得2分且乙得分为事为C₂，则C=C₁+C₂，且C₁与C₂为互斥事件．故P（C）=P（C₁）+P（C₂），求解即可．

解答：解：（1）记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则A与B相互独立，
且P（A）=

2

3

，P（B）=

3

4

，P（

.

A

）=

1

3

，P（

.

B

）=

1

4

．…（1分）
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，…（2分）
P（ξ=0）=P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）=

1

3

×

1

4

=

1

12

，
P（ξ=1）=P（

.

A

B+A

.

B

）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）=

1

3

×

3

4

+

2

3

×

1

4

=

5

12

P（ξ=2）=P（AB）=P（A）P（B）=

2

3

×

3

4

=

1

2

…（4分）
则ξ概率分布列为：

ξ	0	1	2
P	1 12	5 12	1 2

…（5分）
Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

1

2

=

17

12

…（6分）
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为

17

12

．…（7分）
（2）设甲恰好比乙多得分为事件C，甲得分且乙得0分为事件C₁，甲得2分且乙得分为事为C₂，则C=C₁+C₂，且C₁与C₂为互斥事件．…（8分）
P（C）=P（C₁）+P（C₂）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

4

×

1

4

+

2

3

×

2

3

×

C

1 2

×

3

4

×

1

4

=

7

36

…（11分）
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，甲恰好比乙多得分的概率为

7

36

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列与期望方差，属中档题．