题目内容

7．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，0＜x≤1\\（4-a）{x^2}-ax+1，x＞1\end{array}$在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，4）B．$[\frac{5}{2}，4）$C．$（1，\frac{5}{2}]$D．$[\frac{5}{2}，\frac{8}{3}]$

分析 根据f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而f（x）在（0，1]和（1，+∞）上都是增函数，结合增函数的定义即可得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{4-a＞0}\\{\frac{a}{2（4-a）}≤1}\\{lo{g}_{a}1≤（4-a）•{1}^{2}-a+1}\end{array}\right.$，解该不等式便可得出实数a的取值范围．

解答 解：根据条件：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{4-a＞0}\\{\frac{a}{2（4-a）}≤1}\\{lo{g}_{a}1≤（4-a）•{1}^{2}-a+1}\end{array}\right.$；
解得，$1＜a≤\frac{5}{2}$；
∴a的取值范围是$（1，\frac{5}{2}]$．
故选C．

点评 考查分段函数单调性的判断，对数函数和二次函数的单调性，以及增函数的定义．

练习册系列答案
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4．数列{n+2n}中的第4项是20．
18．已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2x-t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（　　）
A．（0，2]B．[$\frac{1}{2}$，+∞）C．[$\frac{1}{2}$，2]D．[$\frac{1}{2}$，2]∪[4，+∞）
15．已知函数f（x）为二次函数且f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x
（1）求f（x）的解析式．（2）当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时求f （2x）的最大与最小值．
（3）判断函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上的单调性并加以证明．（可用导数证明）
2．已知$f（x）={3^x}-{log_{\frac{1}{3}}}$x，实数a、b、c满足f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（　　）
A．x0＜aB．x0＞bC．x0＜cD．x0＞c
12．已知函数y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，最小值为-2，图象过（$\frac{5π}{9}$，0）
（1）求该函数的解析式．
（2）求函数的单调区间．
19．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{aln（x+1），x≥0}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-ax，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）=ex-1．
（1）若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））与点（-1，f（-1））处的切线相互垂直，求a的值；
（2）当a＞0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象公共点的个数；
（3）设数列${b_n}={e^{\frac{1}{n}}}（{n∈N{^*}}）$，其前n项和为Sn，证明：Sn＞ln（n+1）+n-1．
16．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（$\frac{1}{|x|}$）＜f（1）的实数x的取值范围是（-1，0）∪（0，1）；．
17．命题“?x0∈（0，+∞），lnx0＞3-x0”的否定是（　　）
A．“?x0∈（0，+∞），lnx0≤3-x0B．?x∈（0，+∞），lnx＞3-x
C．?x∈（0，+∞），lnx＜3-xD．?x∈（0，+∞），lnx≤3-x

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