Question

12．已知函数y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，最小值为-2，图象过（$\frac{5π}{9}$，0）
（1）求该函数的解析式．
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由周期求的ω，由最值求得A，由特殊点的坐标求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得该函数的单调区间．

解答 解：（1）∵函数y=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，）的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，∴ω=3；∵函数y的最小值为-2，∴A=2；
根据函数的图象过（$\frac{5π}{9}$，0），可得3•$\frac{5π}{9}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴该函数的解析为y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{5π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$，
可得函数的增区间为[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{5π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{18}$，
可得函数的增区间为[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{18}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于基础题．