题目内容
18．已知函数f（x）=ex，g（x）=ax+b，若对于任意的x都有f（x）≥g（x），则ab的最大值为（ ）| A． | e | B． | $\frac{e}{3}$ | C． | $\frac{e}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}e}{2}$ |
分析 先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．
解答 解：设h（x）=f（x）-g（x），则h′（x）=ex-a，
若a=0，则h（x）=ex-b的最小值为h（x）＞-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→-∞，此时h（x）→-∞，不可能恒有h（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由h（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna），
ab≤a2（1-lna）=m（a），
现求m（a）的最小值：由m′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极小值点a=$\sqrt{e}$，
g（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
所以ab的最大值为$\frac{e}{2}$．
故选：C．
点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．
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13．已知异面直线a与b所成的角为θ；向量$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$所在直线分别平行于a和b，则恒有（ ）
| A． | cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$ | B． | cos（π-θ）=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$ | C． | |cosθ|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$ | D． | cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$ |