Question

如图，点A、B分别是椭圆=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

Answer 1

解：(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0).

设点P的坐标是(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y).

由已知得

则2x²+9x-18=0,x=或x=-6.

由于y＞0,只能x=.于是y=.

∴点P的坐标是(,).

(2)直线AP的方程是x-y+6=0.

设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是,于是=|m-6|.

又-6≤m≤6,解得m=2.

椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

d²=(x-2)²+y²

=x²-4x+4+20-x²

=(x-)²+15.

由于-6≤x≤6,

∴当x=时，d取得最小值.