Question

如图，点A、B分别是椭圆

x2

36

+

y2

20

=1的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为

3

x+y-3

2

=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直线PA的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

分析：（I）由题设知A（-6，0），直线AP的斜率为

3

3

，从而可得直线AP的方程
（Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6）由于M到直线AP的距离等于MB，可得

|m+6|

1+( 3 )2

=|m-6|结合-6≤m≤6，可求m，设P（x，y）是椭圆上任意一点，则

x2

36

+

y2

20

=1．d=

(x-2)2+y2

=

4 9 x2-4x+24

，结合二次函数的性质可求

解答：解：（I）由题设知A（-6，0），B（6，0），直线AP的斜率为

3

3

，…（2分）
直线AP的方程为y=

3

3

(x+6)，即x-

3

y+6=0．…（4分）
（Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分）
由于M到直线AP的距离等于MB，

|m+6|

1+( 3 )2

=|m-6|．…（6分）
∵-6≤m≤6，∴

m+6

2

=6-m解得m=2，
M的坐标为（2，0）．…（8分）
设P（x，y）是椭圆上任意一点，则

x2

36

+

y2

20

=1．
d=

(x-2)2+y2

=

4 9 x2-4x+24

当x=

9

2

时d 有最小值

15

点评：本题主要考查了直线方程的点斜式在求解直线方程中的应用，结合椭圆的范围求解二次函数的最值，属于知识的简单综合．