Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N₊），若数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_n}+{b_{n+1}}=\frac{1}{a_n}（n∈{N_+}）$，则数列{b_n}的前2n+3项和T_2n+3=$\frac{{{4^{n+2}}-1}}{{3×{4^{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 S_n=2a_n-2（n∈N₊），可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1．n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁．利用等比数列的通项公式可得：a_n=2ⁿ．数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_n}+{b_{n+1}}=\frac{1}{a_n}（n∈{N_+}）$，可得b_n+b_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$．则数列{b_n}的前2n+3项和T_2n+3=b₁+（b₂+b₃）+…+（b_2n+2+b_2n+3），利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2（n∈N₊），∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1．
n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a_n=2ⁿ．
数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_n}+{b_{n+1}}=\frac{1}{a_n}（n∈{N_+}）$，∴b_n+b_n+1=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
则数列{b_n}的前2n+3项和T_2n+3=b₁+（b₂+b₃）+…+（b_2n+2+b_2n+3）
=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{2n+2}}$
=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n+2}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{{{4^{n+2}}-1}}{{3×{4^{n+1}}}}$．
故答案为：$\frac{{{4^{n+2}}-1}}{{3×{4^{n+1}}}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．