Question

如图,已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,若点A(－1,0)和点B(0,8)关于直线l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.

Answer 1

解:设抛物线C的方程为y²=2px(p＞0).

由于x轴、y轴不是所求的直线,故可设直线l的方程为y=kx(k≠0).

设A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂)分别为A、B关于l的对称点,

因而AA′⊥l,且AA′的中点(,)在直线l上.

由此得方程组

解得                                                                           ①

同理得                                                                      ②

又A′、B′均在抛物线y²=2px(p＞0)上,

将①代入,得(－)²=2p·.

整理得k≠±1且p=.                                                                      ③

同理,由②代入,得［］²=2p·.

整理得p=.                                                                        ④

∴=.

解得k₁=,k₂=.

但当k=时,由④知p＜0,故应舍去.

∴k=.代入③,求得p=.

∴直线方程为y=x,

抛物线方程为y²=x.

点评:(1)本题是一道直线与抛物线的方程求解的综合题,考查的是基本概念和性质.这是解析几何的基本思想方法.

(2)对称问题主要是平分、垂直的问题.