Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（1）证明：{an+1-

3

2

an}为等比数列；
（2）证明：求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n-3ⁿ⁺¹，相减得S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n-3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹，由此能够证明{an+1-

3

2

an}为等比数列；

（2）由an+1=

3

2

an+3n+1得

an+1

3n+1

=

1

2

•

an

3n

+1，

an+1

3n+1

-2=

1

2

•(

an

3n

-2)，

a1

3

-2=

3

2

-2=-

1

2

，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n-3ⁿ⁺¹，
相减得S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n-3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹，（3分）
即an+1=

3

2

an+3n+1，故an+1-

3

2

an=3n+1．
故数列{an+1-

2

3

an}为首项是9、公比为3的等比数列．（6分）
（2）an+1=

3

2

an+3n+1得

an+1

3n+1

=

1

2

•

an

3n

+1，

an+1

3n+1

-2=

1

2

•(

an

3n

-2)，

a1

3

-2=

3

2

-2=-

1

2

，
故

an

3n

-2=-

1

2

×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
所以an=(2-(

1

2

)n)•3n=2•3n-(

3

2

)n．（12分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要注意总结规律，灵活运用公式．