题目内容

已知|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
与
q
的夹角为
π
4
，如图所示，若
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，且D为BC的中点，则|
AD
|=（　　）
分析：由已知中|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
与
q
的夹角为
π
4
，我们易求出
p
2，
q
2及
p
•
q
的值，进而根据向量加法的平行四边形法则，得到
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
）=3
p
-
1
2
q
，先求出|
AD
|2的值，进而即可得到|
AD
|的值．
解答：解：∵|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
与
q
的夹角为
π
4
，
∴
p
2=8，
q
2=9，
p
•
q
=6
∵D为BC的中点
∴
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
）
又∵
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，
∴
AD
=3
p
-
1
2
q

∴|
AD
|2=（3
p
-
1
2
q
）2=（9
p
2+
1
4
q
2-3
p
•
q
）=
225
4

∴|
AD
|=
15
2

故选B
点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的模，向量的数量积公式，向量加法的平行四边形法则，其中根据已知条件，求出
AD
=3
p
-
1
2
q
是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
，
q
夹角为
π
4
，则以
p
，
q
为邻边的平行四边形的一条对角线长为（　　）
A、5
B、
5
C、14
D、
14
已知|
p
| =2
2
，|
q
|=3，＜
p
，
q
＞=
π
4
，如图，若
AB
= 5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，D为BD的中点，则|
AD
|为（　　）
（2006•宣武区一模）已知|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
，
q
夹角为
π
4
，则以
a
=5
p
+2
q
，
b
=
p
-3
q
为邻边的平行四边形的一条对角线长为
（　　）
已知|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
与
q
的夹角为
π
4
，则以  
a
=5
p
+2
q
，
b
=
p
-3
q
为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是（　　）
已知|
p
|=2
2
，|
q
|=3，
p
，
q
夹角为
π
4
，如图，若
AB
=5
p
+2
q
，
AC
=
p
-3
q
，且D为BC中点，则
AD
的长度为
15
2
15
2
．

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