Question

【题目】已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面的面积为.给出下列四个结论：

①若的中点为E，则平面；

②若三棱柱的体积为，则到平面的距离为3；

③若，，则球O的表面积为；

④若，则球O体积的最小值为.

当则所有正确结论的序号是（ ）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①,证明，平面即得证，所以该命题正确；

②，求出到平面的距离为2，所以该命题错误；

③，求出，即可判断该命题正确；

④，求出外接球的半径的最小值为2，即得球O体积的最小值为，所以该命题正确.

①，如图，连接,交于点,连接.因为，所以,因为平面，平面，所以平面，所以该命题正确；

②，连接,过作,垂足为,因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以到平面的距离就是.由题得,所以，所以到平面的距离为2.所以该命题不正确；

③，如图，取中点，连接,则的中点就是三棱柱的外接球的球心,连接.设，球的半径为,则所以.由题得，所以.所以，所以球O的表面积为,所以该命题正确；

④，设，球的半径为,设上底面和下底面的中心分别为,连接,则其中点为,连接.由题得所以,即，又，所以，所以，（当且仅当时取等），所以最小值为2，所以球O体积的最小值为，所以该命题正确.

故选：D.