Question

如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为(

3

2

，

1

2

，0)，点D在平面yoz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（1）求向量

CD

的坐标；
（2）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）过D作DE⊥BC于E，求出D 的坐标，然后求向量

CD

的坐标；
（2）求出向量

AD

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，

BC

=(0，2，0)，
利用cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD |•| BC |

，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE=CD•sin30°=

3

2

，OE=OB-BDcos60°=1-

1

2

=

1

2

，
∴D的坐标为（0，-

1

2

，

3

2

），
又∵C（0，1，0），
∴

CD

=(0，-

3

2

，

3

2

)
（2）依题设有A点坐标为A(

3

2

，

1

2

，0)，
∴

AD

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，

BC

=(0，2，0)
则cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD |•| BC |

=-

10

5

，
故异面直线AD与BC所成角的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，空间直角坐标系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．