Question

如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为 （

3

2

，

1

2

，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（1）求向量

OD

的坐标
（2）求向量

AD

和

BC

的夹角的大小．

Answer 1

分析：（1）由∠BDC=90°，∠DCB=30°，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，可得D的坐标，从而可得

OD

的坐标；
（2）求出

AD

和

BC

的坐标，利用向量的夹角公式，即可求

AD

和

BC

的夹角的大小．

解答：解：（1）由∠BDC=90°，∠DCB=30°，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，
所以D(0，-

1

2

，

3

2

)，即

OD

的坐标为(0，-

1

2

，

3

2

)（6分）
（2）∵D(0，-

1

2

，

3

2

)，A(

3

2

，

1

2

，0)，B（0，-1，0），C（0，1，0）
∴

AD

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，

BC

=(0，2，0)，
∴cos＜

AD

，

BC

＞=

AD • BC

| AD |•| BC |

=

-2

3 4 +1+ 3 4

=-

10

5

（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的夹角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．