Question

17．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，
（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；
（Ⅲ）若BC=$\sqrt{2}$，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC面积的最大值，又三棱锥P-ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P-ABC体积的最大值．
（Ⅲ）可求PB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$=PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，
所以AC⊥DO，
又PO垂直于圆O所在的平面，
所以PO⊥AC，
因为DO∩PO=O，
所以AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）因为点C在圆O上，
所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，
又AB=2，所以△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}×2×1=1$，
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，
故三棱锥P-ABC体积的最大值为：$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．
（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，
所以PB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
同理PC=$\sqrt{2}$，所以PB=PC=BC，
在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，
当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，
又因为OP=OB，C′P=C′B，
所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点．
从而OC′=OE+EC′=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
亦即CE+OE的最小值为：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．