Question

设函数f（x）=mx²-mx-6+m．
（1）若对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意将不等式整理，得m（x²-x+1）＜6，结合x²-x+1在[1，3]上的取值为正数，将原不等式等价变形为m＜

6

x2-x+1

，求出

6

x2-x+1

的最小值为

6

7

，即可算出满足条件的m的取值范围；
（2）由题意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6为是关于m的一次函数．因此满足对m∈[-2，2]，使f（x）＜0恒成立的x满足不等式g（-2）＜0且g（-2）＜0，由此解关于x的不等式组，即可得到实数x的取值范围．

解答：解：（1）f（x）＜0即mx²-mx-6+m＜0，可得m（x²-x+1）＜6．
∵当x∈[1，3]时，x²-x+1∈[1，7]，∴不等式f（x）＜0等价于m＜

6

x2-x+1

．
∵当x=3时，

6

x2-x+1

的最小值为

6

7

，
∴若要不等式m＜

6

x2-x+1

恒成立，则必须m＜

6

7

，
因此，实数m的取值范围为（-∞，

6

7

）．
（2）由题意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6，则g（m）是关于m的一次函数．
因此若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
则

g(-2)=-2(x 2-x+1)-6＜0 g(2)=2(x 2-x+1)-6＜0

，解之得-1＜x＜2，
即实数x的取值范围为（-1，2）．

点评：本题给出两个不等式恒成立的问题，求参数的取值范围．着重考查了一次函数、二次函数的图象与性质和不等式的性质等知识，属于中档题．