Question

设函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+x-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对参数m进行讨论，同时利用判别式，建立不等式组，即可求m的取值范围；
（2）利用分离参数法，再求出对应函数在x∈[1，3]上的最大值，即可求m的取值范围．

解答：解：（1）由题意，mx²-mx-1＜0对任意实数x恒成立，
若m=0，显然-1＜0成立；
若m≠0，则

m＜0 △=m2+4m＜0

，解得-4＜m＜0．
所以-4＜m≤0．
（2）由题意，f（x）＞-m+x-1，即m（x²-x+1）＞x
因为x²-x+1＞0对一切实数恒成立，所以m＞

x

x2-x+1

在x∈[1，3]上恒成立．
因为函数y=

x

x2-x+1

=

1

x+ 1 x -1

在x∈[1，3]上的最大值为1，所以只需m＞1即可．
所以m的取值范围是{m|m＞1}．

点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．