Question

工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为P=

1 6-x ，0＜x≤c 2 3 ，x＞c

（c为常数，且0＜c＜6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=

次品数

产品总数

×100%）

Answer 1

分析：（1）要求日盈利额y（万元），只要找出日产量x（万件）中正品与次品的数量，根据分段函数分段研究，针对不同的次品率得到不同的正品与次品数即可；
（2）利用函数的导数求函数的最大值．

解答：解：（1）当x＞c时，p=

2

3

∴y=

1

3

•x•3-

2

3

•x•

3

2

=0（1分）
当0＜x≤c时，p=

1

6-x

∴y=(1-

1

6-x

)•x•3-

1

6-x

•x•

3

2

=

3

2

•

9x-2x2

6-x

（3分）
∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为y=

3(9x-2x2) 2(6-x) ，0＜x≤c 0 ，x＞c

（6分）
（2）由（1）知，当x＞c时，日盈利额为0．
当0＜x≤c时，∵y=

3(9x-2x2)

2(6-x)

∴y′=

3

2

×

(9-4x)(6-x)+(9x-2x2)

(6-x)2

令y'=0得x=3或x=9（舍去）（8分）
①当0＜c＜3时，
∵y'＞0，∴y在区间（0，c]]上单调递增，∴y_最大值=f（c）=

3(9c-2c2)

2(6-c)

，
此时x=c（10分）
②当3≤c≤6时，在（0，3）上，y'＞0，
在（3，6）上y'＜0∴y_最大值=f（3）=

9

2

综上，若0＜c＜3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；
若3≤c＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大（13分）

点评：本题考查分段函数的应用与计算以及函数的导数求函数最值，要求熟练掌握求导法则以及导数法判断函数的单调性解决问题，是中等题．