Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，（x∈R）
（Ⅰ） 求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且C=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共线，求a、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出f（x）的最大值及此时x的值即可；
（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，确定出cosC的值，再由c的值，利用余弦定理列出关系式，再由两向量坐标及两向量共线，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，将两关系式联立即可求出a与b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
即sin（2x-

π

6

）最大值为1，
则f（x）的最大值为1-1=0，
此时2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

3

+kπ，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=0得：sin（2x-

π

6

）-1=0，
即sin（2C-

π

6

）=1，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共线得：sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，①
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即a²+b²-ab=3，②
联立①②，解得：a=1，b=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．