Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*，向量

a

=(-1，an)，

b

=(an+1，q)（q是常数，q＞0）都满足

a

⊥

b

，求

lim

n→∞

Sn

Sn+1

．

Answer 1

分析：由条件利用两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质求得

an+1

an

=q，再分q=1和q≠1两种情况，分别求得

lim

n→∞

Sn

Sn+1

的值．

解答：解：∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=-an+1+anq=0，即

an+1

an

=q，故数列{a_n}是以2为首项、以q为公比的等比数列．
当q=1时，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

na1

(n+1)a1

=1；
当q≠1时，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+1

=

1，0＜q＜1 1 q ，q＞1

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，等比关系的确定，求数列的极限，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．