Question

若不等式组

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

表示的区域面积为S，则
（1）当S=2时，k=______；
（2）当k＞1时，

kS

k-1

的最小值为______．

Answer 1

（1）∵直线l：y=-kx+4k=-k（x-4）
∴直线l经过点A（4，0），令x=0，得y=4k，直线l交y轴于点B（0，4k）
因此，不等式组

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

表示的区域是图中△AOB，
其面积为S=

1

2

×|OA|×|OB|=8k=2，解之得k=

1

4

；
（2）由（1），得S=8k，可得

kS

k-1

=

k(8k)

k-1

=

8k2

k-1

，其中k＞1

8k2

k-1

=8（k-1）+

8

k-1

+16，
∵8（k-1）+

8

k-1

≥2

8(k-1)× 8 k-1

=16
∴当且仅当8（k-1）=

8

k-1

时，即k=2时，8（k-1）+

8

k-1

的最小值为16，
由此可得

8k2

k-1

≥16+16=32，即k＞1时，

kS

k-1

的最小值为32
故答案为：

1

4

，32