Question

已知函数f(x)=

x

x-1

（1）函数y=ax-a+2的图象与函数f（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的值；
（2）试求圆心在原点且与函数f（x）的图象有且只有三个公共点的圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）函数y=ax-a+2的图象与函数f（x）的图象有且只有一个公共点，等价于方程

x

x-1

=ax-a+2有且只有一解，从而分类讨论可求；
（2）先判断函数f(x)=

x

x-1

的图象关于直线y=x成轴对称，所以可得交点必关于直线y=x对称．因为圆心在原点且与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，即这个交点就是函数y=f（x）与直线y=x的交点，从而可求得交点有两个（0，0）、（2，2），其中（0，0）不满足题意，故可求圆C的方程．

解答：解：（1）由题意得

x

x-1

=ax-a+2有且只有一解（1分）
a≠0时，由判别式等于0可得a=-

1

4

（3分）
a=0时，由图象易得同样满足题意（4分）
所以a=0或a=-

1

4

（5分）
（2）易得函数f(x)=

x

x-1

的图象关于直线y=x成轴对称，所以可得交点必关于直线y=x对称       （8分）
又圆心在原点且与函数f（x）的图象有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，
即这个交点就是函数y=f（x）与直线y=x的交点（9分）
求得交点有两个（0，0）、（2，2），其中（0，0）不满足题意，而过（2，2）时圆C的半径为2

2

．
所以所求圆C的方程是x²+y²=8（10分）

点评：本题的考点是圆方程的综合应用，主要考查圆的方程求解，图象的交点问题，关键是问题的等价转化，考查学生分析解决问题的能力．