Question

已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）原函数是幂函数，由f（3）＜f（5）知函数在（0，+∞）上的单调性，由幂指数大于0解得m的值，再根据函数为偶函数即可求出m的具体值；
（2）把（1）中求出的f（x）代入，整理后由对数式的真数大于0求出a的初步范围，再根据函数在[2，3]上有定义进一步缩小a的范围，然后分类讨论函数在区间[2，3]上的最大值，根据最大值为2求解a的值．

解答：解：（1）由条件知幂函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上为增函数，则-2m²+m+3＞0∴-1＜m＜

3

2

，
又m∈Z，∴m=0或1．
当m=0时，f（x）=x³，不满足f（x）为偶函数；
当m=1时，f（x）=x²，满足f（x）为偶函数；
∴f（x）=x²．
（2）g(x)=loga(x2-ax)，令h（x）=x²-ax，由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定义，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x²-ax在[2，3]上为增函数．
当1＜a＜2时，g_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，∴a2+3a-9=0⇒a=

-3±3 5

2

，又1＜a＜2，∴a=

-3+3 5

2

当0＜a＜1时，g_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，∴a2+2a-4=0⇒a=-1±

5

，又0＜a＜1，∴此种情况不存在．
综上，存在实数a=

-3+3 5

2

，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．

点评：本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，是中档综合题．