题目内容

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且sinAcosB= $数学公式$ ，sinBcosA= $数学公式$ ，△ABC的外接圆半径R=3．
（1）求角C．
（2）求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵在△ABC中，sinAcosB= $\text{[math]}$ ，sinBcosA= $\text{[math]}$ ，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= $\text{[math]}$
∵0＜C＜π，
∴C=30°或150°（6分）
（2）∵C=30°或150°，△ABC的外接圆半径R=3，
∴c=2RsinC=3 （8分）
∴c²=a²+b²-2abcosC
即 a²+b²- $\text{[math]}$ ab=9 或 a²+b²+ $\text{[math]}$ ab=9（9分）
又由 sinAcosB= $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a²-b²=3，（11分）
∴2a²± $\text{[math]}$ ab-4b²=0
解得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）在△ABC中，由sinC=sin（A+B）可求得sinC= $\text{[math]}$ ，从而可求得角C；
（2）由c=2RsinC可求得c，再利用余弦定理可得a²+b²- $\text{[math]}$ ab=9 或 a²+b²+ $\text{[math]}$ ab=9，再由sinAcosB= $\text{[math]}$ 得a²-b²=3，从而可得 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查综合运用余弦定理与正弦定理解决问题的能力，属于中档题．