Question

12．函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinωx+cosωx）（ω＞0）对任意实数x都有f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x），则f（$\frac{π}{4}$）等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$或0
• B． -2或2
• C． $\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{2}$或0

Answer 1

分析 利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），根据f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x），可得故函数的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，有ω=4k+1，k∈z，解得ω的值，代入x=$\frac{π}{4}$，化简即可求得结果．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
对任意实数x都有f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x），
故函数的图象关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴ω=4k+1，k∈z，
令k=0，可得：ω=1，则f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2．
令k=1，可得：ω=5，则f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$（sin$\frac{5π}{4}$+cos$\frac{5π}{4}$）=$\sqrt{2}$×[-（$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）]=-2．
故选：B．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，属于中档题．