Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意利用两个向量的数量积公式求得

a

•

b

，再根据

a

+

b

的坐标，求得|

a

+

b

|的值．
（2）由（Ⅰ）得 f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，再结合1≥cosx≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f（x）的最小值是-

3

2

，分别求得实数λ的值，综合可得结论．

解答： 解：（1）由题意可得

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x，

a

+

b

=（cos

3

2

x+cos

x

2

，sin

3

2

x-sin

x

2

），
∴|

a

+

b

|=

(sin 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2|cosx|．
∵x∈[0，

π

2

]，∴1≥cosx≥0，∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）由（Ⅰ）得 f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
再结合1≥cosx≥0可得，
当λ＜0时，则cosx=0时，f（x）取得最小值为-1，这与已知矛盾．
当0≤λ≤1时，则cosx=λ时，f（x）取得最小值为-1-2λ²．
当λ＞1时，则cosx=1时，f（x）取得最小值为1-4λ．
由已知得1-4λ=-

3

2

，λ=

5

8

，这与λ＞1相矛盾．
综上所述，λ=

1

2

为所求．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．