Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=

a2

c

与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．( 3 ，+∞)

B．(1， 3 )

C．( 2 ，+∞)

D．(1， 2 )

Answer 1

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±

b

a

x
联立方程组

y=± b a x x= a2 c

，解得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，-

ab

c

），
设直线x=

a2

c

与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA
∴c-

a2

c

＜

ab

c

，b＜a，c²-a²＜a²
∴c²＜2a²，e²＜2，e＜

2

又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜

2

故选D