Question

已知△ABC的三个内角A．B．C成等差数列，且A＜B＜C，tanA•tanC=2+

3

．
①求角A、B、C的大小；
②如果BC边的长等于4

3

，求△ABC的边AC的长及三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）由三角形的三个内角成等差数列及三角形的内角和定理求出B的度数及A+C的度数，利用特殊角的三角函数值求出tan（A+C）的值，根据两角和的正切函数公式及已知的tanAtanC的值，即可求出tanA+tanC的值，与tanAtanC的值联立，根据A和C的范围即可求出tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，在由A+C的度数求出C的度数；
（2）由|BC|，sinA和sinB的值，利用正弦定理求出|AC|，然后由|AC|，|BC|及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A+B+C=180°，2B=A+C，
∴B=60°，A+C=120°，
∴tg（A+C）=-

3

，
又tg（A+C）=

tgA+tgC

1-tgAtgC

，  tgAtgC=2+

3

，
∴-

3

=

tgA+tgC

1-2- 3

，
∴tgA+tgC=3+

3

，
又tgAtgC=2+

3

，且0＜A＜60°＜C＜120°，
∴tgA=1，tgC=2+

3

，
∴A=45°，∴C=120°-45°=75°；
（2）由正弦定理：

|AC|

sin60°

=

|BC|

sin45°

，
∴|AC|=6

2

，
∴S_△ABC=

1

2

|AC|•|BC|•sinC

= 1 2 ×6 2 ×4 3 ×sin75° =12 2 sin(45°+30°)=18+6 3 ．

点评：此题考查了等差数列的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理及三角形的面积公式，数列掌握公式及定理是解本题的关键．