Question

【题目】已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有 6 个零点，则实数的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点等价于当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，

即可即m=f（x）有3个不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范围．

函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，

则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，

令F（x）=f（x）﹣m=0，

即m=f（x），

①当0≤x＜2时，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，

当x=时有最大值，即为f（）=，

且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，

故f（x）在[0，2）上的值域为（﹣2，），

②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，

∵f′（x）=，

令f′（x）==0，解得x=3，

当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，

∴f（x）min=f（3）=﹣，

故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），

∵﹣＞﹣2，

∴当﹣＜m＜0时，当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，

故当﹣＜m＜0时，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，

故选D.