Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形的面积.

Answer 1

【答案】（1）,（2）16

【解析】分析: （Ⅰ）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它们其中的一个公共点，从而可确定，进而得到三角形的面积.

详解: （Ⅰ）曲线 （为参数），消去参数，得曲线的普通方程为：，

曲线 ，即，化为直角坐标方程为．

（Ⅱ）因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它们其中的一个公共点，将原点代入中得：（舍去），此时，曲线方程为，曲线和曲线的三个交点坐标为，易得这三个点为顶点的三角形的面积为．

点睛: 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式， 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．