Question

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k（k∈N^*）的自然数x的个数．
（1）求f（k）的函数解析式；
（2）S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n；
（3）设P_n=2ⁿ⁺¹+n-3，由（2）中S_n及P_n构成函数T_n，Tn=

log2(Sn-Pn)

log2(Sn+1-Pn+1)-10.5

，求T_n的最小值与最大值．

Answer 1

分析：（1）、由log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k可知

x＞0 5•2k-1-x＞0 x(5•2k-1-x)≥22k-1

，解这个不等式组得到x的取值范围后，就能求出f（k）的解析式；
（2）、由S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（1+2+2²+…+2^n-1）+n，利用等比数列求和公式，即可求得结果；
（3）将S_n及P_n代入函数T_n中，利用对数的运算性质对T_n化简得到

n

n-9.5

，利用分子常数化，和反比例函数的单调性，即可求得T_n的最小值与最大值．

解答：解：（1）∵log₂x+log₂（5•2^k-1-x）≥2k，∴log₂（5•2^k-1x-x²）≥2k=log₂2^2k，
∴

x＞0 5•2k-1-x＞0 x(5•2k-1-x)≥22k

，
解得得2^k-1≤x≤4•2^k-1．
∴f（k）=4•2^k-1-2^k-1+1=3•2^k-1+1（k∈N^*）
（2）s_n=f（1）+f（2）+…+f（n）=3（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）+n
=

3(1-2n)

1-2

+n=3•2n+n-3；
（3）Tn=

log2(3•2n+n-3-2n+1-n+3)

log2(3•2n+1+n+1-3-2n+2-n-1+3)-10.5

=

n

n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，
则n=9时有最小值T₉=-18；n=10时有最大值T₁₀=20．

点评：本题考查对数的运算性质以及利用对数的单调性求解对数不等式，注意对数函数的定义域，和等比数列的求和公式，利用对数函数的单调性解对数不等式，求出函数的解析式是解题的关键，同时考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．