Question

设f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（-x）=-f（x）．已知当x＞0时f(x)=

x

1-2x

（1）求当x＜0时，f（x）的解析式   （2）解不等式f(x)＜-

x

3

．

Answer 1

分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（-x）=-f（x）解出f（x）即可．
（2）解不等式f（x）＜-

x

3

，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，f(-x)=

-x

1-2-x

=

-x2x

2x-1

又f（-x）=-f（x）
所以，当x＜0时，f(x)=

x•2x

2x-1

（2）x＞0时，f(x)=

x

1-2x

＜-

x

3

，∴

1

1-2x

＜-

1

3

化简得∴

4-2x

3(1-2x)

＜0，解得1＜2^x＜4∴0＜x＜2
当x＜0时，

x2x

2x-1

＜-

x

3

∴

4(2x- 1 4 )

3(2x-1)

＞0解得2^x＞1（舍去）或2x＜

1

4

∴x＜-2
解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}

点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．