Question

9．设[t]表示不超过实数t的最大整数，则在坐标平面xoy上，满足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1的点P（x，y）所形成的图形的面积为4．

Answer 1

分析 根据方程求出x，y的整数解，则可以确定x的范围，进而得到对应的y的范围，求出面积即可．

解答 解：由题意得-2≤[x]≤2，-3≤[y]≤3，
则当-2≤x＜-1时，[x]=-2，此时由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=0，即0≤y＜1，
当-1≤x＜0时，[x]=-1，此时由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=$\frac{9}{4}$不是整数，不满足条件，
当0≤x＜1时，[x]=0，此时由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=9，即[y]=-3或3，即-3≤y＜-2或3≤y＜4，
当1≤x＜2时，[x]=1，此时由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=$\frac{27}{4}$，不是整数，不满足条件．
当2≤x＜3时，[x]=2，此时由足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=0，即[y]=0，即-1≤y＜0，
即满足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1的点P（x，y）构成的条件为$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x＜-1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{-3≤y＜-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{3≤y＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2≤x＜3}\\{-1≤y＜0}\end{array}\right.$
作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的面积S=1+1+1+1=4，
故答案为：4．

点评 本题考查探究性问题，是创新题，考查学生分析问题，解决问题的能力，而分类讨论思想是高中数学的一个重要的数学思想．