Question

已知f(n)＝．

(1) 当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；

(2) 由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1) 当n＝1时，f(1)>g(1)；

当n＝2时，f(2)>g(2)；

当n＝3时，f(3)>g(3)．

(2) 猜想：f(n)>g(n)(n∈N^*)，即 (n∈N^*)．

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．

②假设当n＝k时，猜想成立，即

则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝

只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，

需证：(2k＋3)²>4(k＋2)(k＋1)，

即证：4k²＋12k＋9>4k²＋12k＋8，此式显然成立．

所以，当n＝k＋1时猜想也成立．

综上可知：对n∈N^*，猜想都成立，

即 (n∈N^*)成立．