Question

（本小题满分12分）
设二次函数，函数，且有，
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数k和p，使得成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）  （）
（2）

（I）由，可建立关于a,b，m,n
的方程，从而求出f(x),g(x)的解析式.
（2）假设存在，令f(x)=g(x)=kx+p,即，然后可以构造（），证明h(x)与x轴的正半轴有交点即可.然后再根据图像确定直线方程y=kx+p应满足什么条件.
（Ⅰ），，
，，即，
．                                                    （2分）
，．， ，
解得，（）．               （4分）
（Ⅱ）令，可得（）．
（法一）， ，
，，
，，，
即与有且仅有一个交点为，
在点处的切线为．                        （8分）
（法二）设（），
（），
令，解得，
且时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，．
所以，与有且仅有一个交点为．
在点处的切线为．                        （8分）
下面证明．
设（），
（法一）

，，即．       （12分）
（法二），令，解得．
且时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，即．      （12分）