题目内容

若椭圆 $数学公式$ 上有两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，则PQ的中点M的坐标是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：因为直线l是线段PQ的垂直平分线，所以设直线PQ的方程为y=-x+m，把直线PQy=-x+m代入2x²+3y²=24，并整理，得
5x²-6mx+3m²-24=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以PQ的中点坐标M（ $\text{[math]}$ ），由点M（ $\text{[math]}$ ）在直线l：6x-6y-1=0上，解得m= $\text{[math]}$ ．由此能求出M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
解答：∵两点P、Q关于直线l：6x-6y-1=0对称，
∴直线l是线段PQ的垂直平分线，
∵k_PQ=1，∴k_PQ=-1，
设直线PQ的方程为y=-x+m，
把直线PQy=-x+m代入2x²+3y²=24，并整理，得
5x²-6mx+3m²-24=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴PQ的中点坐标M（ $\text{[math]}$ ），
∵点M（ $\text{[math]}$ ）在直线l：6x-6y-1=0上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m= $\text{[math]}$ ．
∴M（ $\text{[math]}$ ）为M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
故选B．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．