Question

19.设二次函数方程的两根和满足

(Ⅰ)求实数a的取值范围;

(Ⅱ)试比较的大小，并说明理由.

Answer 1

本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力.

解法1：(Ⅰ)令g(x)=f(x)-x=x²+(a-1)x+a,则由题意可得

故所求实数a的取值范围是(0，3-2).

(Ⅱ)f(0)·f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a², 令h(a)=2a².

∵当a＞0时h(a)单调增加，

∴当0＜a＜3-2时

0＜h(a)＜h(3-2)=2(3-2)²=2(17-12)

=2·

解法2：(Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a²,由(Ⅰ)知0＜a＜3-2

∴4a-1＜12-17＜0,又4a+1＞0,于是

2a²-=

即2a²-故f(0)f(1)-f(0)＜

解法3：(Ⅰ)方程f(x)-x=0x²+(a-1)x+a=0,由韦达定理得

故所求实数a的取值范围是(0，3-2)

(Ⅱ)依题意可设g(x)=(x-x₁)(x-x₂),则由0＜x₁＜x₂＜1得

f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x₁x₂(1-x₁)(1-x₂)=［x₁(1-x₁)］［x₂(1-x₂)］

＜