Question

设二次函数f（x）=-x²+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）试比较f（0）•f（1）-f（0）与

1

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的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：解法一：（1）利用二次函数根的分布的知识进行转化，得到参数a的方程组或不等式组，求解方程或解不等式．
（2）求出f（0）•f（1）-f（0）的关于参数a的表达式，然后利用（1）中解出的a的取值范围，求出f（0）•f（1）-f（0）的取值范围，与

1

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比较．
解法二：基本与解一同，在对第二问大小的比较上，求出用了作差法，（1）中求出的是值域，用函数值的最大值与之比较．
解法三：第一小题中用的是根系关系转化为关于参数a的不等式，然后解不等式，第二题中通过根与系数的关系构造不等式，利用基本不等式求解．

解答：解：法1：（Ⅰ）令g（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a，
则由题意可得

△＞0 0＜ 1-a 2 ＜1 g(1)＞0 g(0)＞0

?

a＞0 -1＜a＜1 a＜3-2 2 ，或a＞3+2 2

．
故所求实数a的取值范围是(0，3-2

2

)．
（II）f（0）•f（1）-f（0）=2a²，令h（a）=2a²．
∵当a＞0时，h（a）单调增加，
∴当0＜a＜3-2

2

时，0＜h(a)＜h(3-2

2

)=2(3-2

2

)2=2(17-12

2

)=2•

1

17+12 2

＜

1

16

＜

1

15

即f(0)•f(1)-f(0)＜

1

16

＜

1

15

．
法2：（I）同解法1．
（II）∵f（0）f（1）-f（0）=2a²，由（I）知0＜a＜3-2

2

，
∴4

2

a-1＜12

2

-17＜0．又4

2

a+1＞0，于是2a2-

1

16

=

1

16

(32a2-1)=

1

16

(4

2

a-1)(4

2

a+1)＜0，
即2a2-

1

16

＜0，故f(0)f(1)-f(0)＜

1

16

＜

1

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．
法3：（I）方程f（x）-x=0?x²+（a-1）x+a=0，由韦达定理得x₁+x₂=1-a，x₁x₂=a，于是0＜x1＜x2＜1?

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0 (1-x1)+(1-x2)＞0 (1-x1)(1-x2)＞0

?

a＞0 a＜1 a＜3-2 2 或a＞3+2 2

?0＜a＜3-2

2

．
故所求实数a的取值范围是(0，3-2

2

)．
（II）依题意可设g（x）=（x-x₁）（x-x₂），则由0＜x₁＜x₂＜1，
得f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）=[x₁（1-x₁）][x₂（1-x₂）]＜(

x1+1-x1

2

)2(

x2+1-x2

2

)2=

1

16

，故f(0)f(1)-f(0)＜

1

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＜

1

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．

点评：本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．