Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x₁和x₂．
（1）如果x₁＜2＜x₂＜4，设二次函数f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）有x₁＜2＜x₂＜4转化为g（x）=f（x）-x=0有两根：一根在2与4之间，另一根在2的左边，利用一元二次方程根的分布可证．
（2）先有a＞0，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况来讨论．再利用两根之和与两根之积和|x₂-x₁|=2来求b的取值范围．

解答：解：（1）设g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由条件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

由可行域可得

b

a

＜2，∴x0=-

b

2a

＞-1．
（2）由g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，知x1x2=

1

a

＞0，故x₁与x₂同号．
①若0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2（负根舍去），
∴x₂=x₁+2＞2．
∴

g(2)＜0 g(4)＞0

，即

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

?b＜

1

4

；
②若-2＜x₁＜0，则x₂=-2+x₁＜-2（正根舍去），

g(-2)＜0 g(-4)＞0

，即

4a-2b+3＜0 16a-4b+5＞0

?b＞

7

4

．
综上，b的取值范围为b＜

1

4

或b＞

7

4

．

点评：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解．二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解．此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想．