Question

8．设函数f（x），g（x）有相同的定义域D，且f（x）为增函数，g（x）为减函数，则函数f（x）+g（x），f（x）-g（x）中哪一个为增函数？

Answer 1

分析 容易根据已知条件得到f（x）-g（x）为增函数，而f（x）+g（x）的单调性不能判断，可根据增函数、减函数的定义证明f（x）-g（x）为增函数：设任意的x₁，x₂∈D，作差比较f（x₁）-g（x₁）与f（x₂）-g（x₂）的大小关系，需利用上f（x），g（x）在D上的单调性，从而证出f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），便得出f（x）-g（x）为增函数．

解答 解：f（x）-g（x）为增函数，f（x）+g（x）不一定为增函数，比如f（x）=x，g（x）=-x；
证明f（x）-g（x）为增函数：设x₁，x₂∈D，且x₁＜x₂，则：
∵f（x）在D上为增函数，g（x）在D上为减函数；
∴f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂）；
设F（x）=f（x）-g（x），则：
F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-g（x₁）-f（x₂）+g（x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[g（x₂）-g（x₁）]＜0；
∴F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）在D上为增函数；
即f（x）-g（x）在D上为增函数．

点评 考查增函数、减函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差比较F（x₁）与F（x₂）大小的方法，以及增函数和减函数定义的运用．