Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜ ．
（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得

即 又 ，∴

（2）解：解法一：由（I）得， 依题意， 又 ，故ω=3，∴

函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 g（x）是偶函数当且仅当 即 从而，最小正实数

解法二：由（I）得， ，依题意， 又 ，故ω=3，∴

函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 ，g（x）是偶函数当且仅当g（﹣x）=g（x）对x∈R恒成立

亦即 对x∈R恒成立．∴ =

即 对x∈R恒成立．∴

故 ∴ 从而，最小正实数

【解析】（1）利用特殊角的三角函数值化简 ，根据 直接求出φ的值；（2）解法一：在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出 ，可求最小正实数m． 解法二：在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；利用g（x）是偶函数当且仅当g（﹣x）=g（x）对x∈R恒成立，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．化简 ，然后再求最小正实数m．